Pré­sen­ta­tion du système hexa­dé­ci­mal

Alors que le système décimal, avec ses dix chiffres, fait partie de notre quotidien, l’in­for­ma­tique et le trai­te­ment de données s’appuient sur le système binaire ou code binaire, qui permet de re­pré­sen­ter des sujets complexes avec seulement deux valeurs : 0 et 1. Dans le système binaire, les grands nombres pré­sen­tent gé­né­ra­le­ment le dé­sa­van­tage d’être ra­pi­de­ment il­li­sibles. C’est là qu’in­ter­vient le système hexa­dé­ci­mal, où des in­for­ma­tions qui né­ces­si­tent huit chiffres dans le système binaire n’en né­ces­si­tent que deux avec le système hexa­dé­ci­mal.

Le mot hexa­dé­ci­mal est composé des termes hexa et decem. Hexa vient du grec et signifie « six » tandis que decem est le mot latin pour « dix ». Le système hexa­dé­ci­mal est donc un système de valeur qui re­pré­sente les nombres en base 16. Cela signifie que le système hexa­dé­ci­mal utilise 16 chiffres dif­fé­rents. En d’autres termes : il existe 16 symboles nu­mé­riques possibles contre deux dans le système binaire (0 ou 1), et dix dans le système décimal (0 à 9). Mais à quoi sert ce système ?

En in­for­ma­tique, le système hexa­dé­ci­mal est utilisé pour faciliter la li­si­bi­lité de grands nombres comme les longues chaînes de bits. Celles-ci sont divisées en groupes de quatre bits et con­ver­ties en nombres hexa­dé­ci­maux. Résultat : au lieu d’une longue suite de « 1 » et « 0 », la suite est exprimée en nombres hexa­dé­ci­maux plus courts et qui peuvent, à leur tour, être divisés en petits groupes de deux ou quatre. En ce sens, les nombres hexa­dé­ci­maux per­met­tent une re­pré­sen­ta­tion compacte des suites de bits. Le système est utilisé notamment pour les adresses sources et cibles des pro­to­coles Internet (IP), dans les codes ASCIII ou dans la des­crip­tion de codes couleurs dans le design Web avec le CSS, le langage des feuilles de style.

Comme nous l’avons évoqué plus tôt, le système hexa­dé­ci­mal dispose de 16 symboles nu­mé­riques. Cependant, cela crée un problème potentiel : avec la notation con­ven­tion­nelle des nombres, on utilise les nombres décimaux 10, 11, 12, 13, 14 et 15, chacun étant constitué de deux symboles adjacents. Ainsi, si vous exprimez le nombre 10 en notation hexa­dé­ci­male, il est difficile de savoir s’il s’agit du nombre décimal 10 ou, par exemple, du nombre binaire 2 (1 + 0).

Pour éviter ce problème, les nombres hexa­dé­ci­maux d’une valeur de 10 à 15 sont exprimés par les lettres ma­jus­cules A, B, C, D, E et F. Le système hexa­dé­ci­mal utilise donc des chiffres de 0 à 9 et les lettres ma­jus­cules de A à F pour re­pré­sen­ter l’équi­valent du nombre binaire ou décimal. Pour dif­fé­ren­cier les nombres hexa­dé­ci­maux des nombres décimaux, vous disposez de plusieurs formats d’écriture (vous trouverez ci-dessous plusieurs exemples du nombre hexa­dé­ci­mal « 73 ») :

• 73₁₆
• 73_hex
• 73h
• 73H
• 73H
• 0x73
• $73
• #73
• "73
• X’73’

Le préfixe 0x et le suffixe h sont utilisés prin­ci­pa­le­ment dans la pro­gram­ma­tion, tandis que le préfixe dollar est utilisé avec certaines familles de pro­ces­seurs en langage d’as­sem­blage.

Si des valeurs complexes sont décrites, les chaînes de bits ou chaînes binaires peuvent devenir très longues. Au quotidien, dans le système de nu­mé­ra­tion décimale, nous utilisons des groupes de trois chiffres pour rendre plus lisible un très grand nombre, comme un million ou un trillion. Il en va de même pour les systèmes nu­mé­riques : afin de pouvoir lire une chaîne de bits comme 1111010111001111₂ plus fa­ci­le­ment, elle sera en général divisée en groupes homogènes de quatre chiffres. Notre exemple s’écrira donc ainsi : 1111 0101 1100 1111₂. Remplacer le système binaire par le système hexa­dé­ci­mal per­met­trait de le rendre encore plus lisible.

Comme 16 est la quatrième puissance de 2 (ou 2⁴) dans le système décimal, il existe une relation directe entre les chiffres 2 et 16, de sorte qu’un chiffre hexa­dé­ci­mal a une valeur équi­va­lente à 4 chiffres binaires. Sur cette base, vous pouvez re­pré­sen­ter 4 chiffres d’un nombre binaire par un seul chiffre hexa­dé­ci­mal. Cela rend la con­ver­sion entre les nombres binaires et hexa­dé­ci­maux re­la­ti­ve­ment facile, de sorte que les grands nombres binaires peuvent être écrits avec moins de chiffres grâce au système hexa­dé­ci­mal.

Les nombres hexa­dé­ci­maux font partie d’un système plus complexe que les systèmes binaires ou décimaux et sont souvent utilisés en com­bi­nai­son avec des adresses mémoires. En divisant un nombre binaire en groupes de 4 bits, chaque ensemble de 4 chiffres peut prendre une valeur comprise entre « 0000 » (0) et « 1111 » (8+4+2+1 = 15). Il en résulte un total de 16 com­bi­nai­sons de chiffres dif­fé­rentes de 0 à 15. Il faut tenir compte du fait que le « 0 » est également un chiffre valide.

Selon le tableau de con­ver­sion, notre série de chiffres binaires 1111 0101 1100 1111₂ ressemble à ceci dans le système hexa­dé­ci­mal : F5CF. Ce chiffre est plus facile à lire que la longue chaîne de bits. L’uti­li­sa­tion de la notation hexa­dé­ci­male permet d’écrire un code numérique avec moins de chiffres et un risque d’erreur con­si­dé­ra­ble­ment réduit. De même, la con­ver­sion des nombres hexa­dé­ci­maux en binaire est sim­ple­ment le processus inverse.

Pour iden­ti­fier clai­re­ment notre numéro de tout à l’heure comme un nombre hexa­dé­ci­mal, vous pouvez écrire F5CF comme suit : F5CF₁₆, $F5CF ou #F5CF. Cette dernière notation, également appelée valeur de hachage, est utilisée dans le codage numérique des couleurs, car les con­cep­teurs et les dé­ve­lop­peurs utilisent les couleurs HEX dans la con­cep­tion de sites web. Une couleur HEX est exprimée sous la forme d’une com­bi­nai­son de six chiffres et lettres définie par son mélange de rouge, de vert et de bleu (RVB). Par exemple #000000 cor­res­pond au noir et #FFFFFF au blanc.

Vous savez désormais comment convertir quatre chiffres binaires en nombre hexa­dé­ci­mal. Si vous avez plus de quatre chiffres binaires, il vous suffit de commencer par l’avant ou de continuer avec le prochain ensemble de 4 bits. Avec deux chiffres hexa­dé­ci­maux, vous pouvez compter jusqu’à FF, qui cor­res­pond à la valeur 255 dans le système hexa­dé­ci­mal.

L’ajout de chiffres hexa­dé­ci­maux sup­plé­men­taires pour convertir des nombres binaires en hexa­dé­ci­maux est très facile si vous avez 4, 8, 12 ou 16 chiffres binaires. Cependant, vous pouvez également ajouter « 0 » ou « 00 » à gauche du bit le plus sig­ni­fi­ca­tif, si le nombre de bits binaires n’est pas un multiple de quatre. Par exemple 110010110110011₂ est un nombre binaire de 14 bits qui est trop grand pour trois chiffres hexa­dé­ci­maux, mais trop petit pour un nombre hexa­dé­ci­mal de quatre chiffres.

La solution consiste à ajouter des zéros sup­plé­men­taires au bit le plus à gauche jusqu’à obtenir un ensemble complet de nombres binaires à 4 bits. Dans notre exemple, la ligne ci-dessus res­sem­ble­rait main­te­nant à ceci : 00110010110110011₂.

Le grand avantage du système hexa­dé­ci­mal réside dans son format compact, car la base 16 signifie qu’il faut moins de chiffres pour re­pré­sen­ter un nombre donné qu’en format binaire ou décimal. En outre, il est re­la­ti­ve­ment simple et rapide de convertir les chiffres hexa­dé­ci­maux en chiffres binaires et in­ver­se­ment.